CH03-树/二叉树

数组和链表都是用来解决一对一问题的，而一对多问题则需要树来解决。这里，我们重点关注二叉排序树，所以只会介绍一些必需了解的概念，关于树的更多知识，大家可以查看相关书籍进行系统的学习。

树的定义

树(Tree)是 n(n≥0) 个结点的有限集。n=0 时称为空树。在任意一棵非空树中:

1. 有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；
2. 当 n>1 时，其余结点可分为 m(m>0) 个互不相交的有限集 T1 、T2、……、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)。

如下图：

与现实中的树不同，数据结构里的树的根在最上方，并且只有一个根，就像一棵倒置的树。树的每个结点往下都是一棵子树，且这些子树不能相交，如下所示就不是一棵正确的树：

相关概念

节点分类

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度(Degree) 。度为 0 的结点称为叶结点(Leaf) 或终端结点；度不为 0 的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。

如下图所示，A 结点为根节点，G、H、I、J、F 为叶节点，其余节点则为内部节点，此树的度为 3。

节点间的关系

结点的子树的根称为该结点的孩子(Child)，相应地，该结点称为孩子的双亲(Parent)。同一个双亲的孩子之间互称兄弟(Sibling)。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。

深度

结点的层次(LeveI)从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第 L 层，则其子树的根就在第 L+1 层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度。

有序树，无序树

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

二叉树

二叉树(Binary Tree)是n(n ≥ 0) 个结点的有限集合，该集合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

下图就是一个二叉树，二叉树就是每个结点的度≤2的树。

二叉树遍历

二叉树的遍历(traversing binary tree)是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次旦仅被访问一次。

前序遍历

规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树， 再前序遍历右子树。

如下图所示，遍历结果为：ABDGHCEIF。

中序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点) ，中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。

如下图所示，遍历结果为：GDHBAEICF。

后序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。

如下图所示，遍历结果为：GHDBIEFCA。