CH08-TreeSet-Map
概述
- TreeSet 和 TreeMap 在 Java 中具有类似的实现，前者仅仅是对后者的简单封装。
- TreeMap实现了SortedMap接口，也就是说会按照
key的大小顺序对Map中的元素进行排序，key大小的评判可以通过其本身的自然顺序(natural ordering)，也可以通过构造时传入的比较器(Comparator)。 - *TreeMap*底层通过红黑树(Red-Black tree)实现，也就意味着
containsKey(),get(),put(),remove()都有着log(n)的时间复杂度。 - 出于性能原因，TreeMap是非同步的(not synchronized)。
红黑树是一种近似平衡的二叉查找树，它能保证任何一个节点的左右子树的高度差不会超过二者中较低那个的一倍。
具体来说，红黑树是满足如下条件的二叉查找树：
- 每个节点要么是红色，要么是黑色。
- 根节点必须是黑色。
- 红色节点不能有连续(父子节点均不能为红色)。
- 对于每个节点，从该节点至 null(树尾)的任何路径，都含有相同个数的黑色节点。
在树的结构发生改变时(插入或删除)，往往会破坏上面的 3 和 4，需要执行调整以使得重新满足所有条件。
树操作
调整可以分为两类，颜色调整和结构调整。
结构调整：左旋
左旋的过程就是想 X 的右子树绕 X 向左方向(逆时针)旋转，使 X 的右子树称为 X 的父亲，同时修改相关节点的引用。旋转之后，二叉查找树的条件仍然满足。
结构调整：右旋
右旋的过程是将 X 的左子树绕 X 向右方向(顺时针)旋转，使 X 的左子树称为 X 的父亲，同时修改相关的引用。旋转之后，二叉查找树的条件仍然满足。
寻找节点后继
对二叉查找树，给定节点 T，其后继(树中大于 T 的最小元素)可以通过如下方式找到：
- T 的右子树不空，则 T 的后继是其右子树中最小的按个元素。
- T 的右子树为空，则 T 的后继是其第一个向左走的父亲。
该操作用于删除红黑树中的删除操作。
// 寻找节点后继函数successor()
static <K,V> TreeMap.Entry<K,V> successor(Entry<K,V> t) {
if (t == null)
return null;
else if (t.right != null) {// 1. t的右子树不空，则t的后继是其右子树中最小的那个元素
Entry<K,V> p = t.right;
while (p.left != null)
p = p.left;
return p;
} else {// 2. t的右孩子为空，则t的后继是其第一个向左走的祖先
Entry<K,V> p = t.parent;
Entry<K,V> ch = t;
while (p != null && ch == p.right) {
ch = p;
p = p.parent;
}
return p;
}
}
内部实现
get
get(Object key)方法根据指定的key值返回对应的value，该方法调用了getEntry(Object key)得到相应的entry，然后返回entry.value。因此getEntry()是算法的核心。算法思想是根据key的自然顺序(或者比较器顺序)对二叉查找树进行查找，直到找到满足k.compareTo(p.key) == 0的entry。
//getEntry()方法
final Entry<K,V> getEntry(Object key) {
......
if (key == null)//不允许key值为null
throw new NullPointerException();
Comparable<? super K> k = (Comparable<? super K>) key;//使用元素的自然顺序
Entry<K,V> p = root;
while (p != null) {
int cmp = k.compareTo(p.key);
if (cmp < 0)//向左找
p = p.left;
else if (cmp > 0)//向右找
p = p.right;
else
return p;
}
return null;
}
put
put(K key, V value)方法是将指定的key, value对添加到map里。该方法首先会对map做一次查找，看是否包含该元组，如果已经包含则直接返回，查找过程类似于getEntry()方法；如果没有找到则会在红黑树中插入新的entry，如果插入之后破坏了红黑树的约束条件，还需要进行调整(旋转，改变某些节点的颜色)。
public V put(K key, V value) {
......
int cmp;
Entry<K,V> parent;
if (key == null)
throw new NullPointerException();
Comparable<? super K> k = (Comparable<? super K>) key;//使用元素的自然顺序
do {
parent = t;
cmp = k.compareTo(t.key);
if (cmp < 0) t = t.left;//向左找
else if (cmp > 0) t = t.right;//向右找
else return t.setValue(value);
} while (t != null);
Entry<K,V> e = new Entry<>(key, value, parent);//创建并插入新的entry
if (cmp < 0) parent.left = e;
else parent.right = e;
fixAfterInsertion(e);//调整
size++;
return null;
}
上述代码首先在红黑树上找到合适的位置，然后创建新的 entry 并插入(插入的节点一定是叶子)。难点是调整函数 fixAfterInsertion，需要执行颜色调整和结构调整。
调整函数的具体实现如下，其中用到了前面提到的 rotateLeft 和 rotateRight 函数。通过代码我们可以看到，情况 2 其实是落在情况 3 内。情况 4~6 跟前三种情况是对称的，因此图解中没有展示后 3 种情况。
//红黑树调整函数fixAfterInsertion()
private void fixAfterInsertion(Entry<K,V> x) {
x.color = RED;
while (x != null && x != root && x.parent.color == RED) {
if (parentOf(x) == leftOf(parentOf(parentOf(x)))) {
Entry<K,V> y = rightOf(parentOf(parentOf(x)));
if (colorOf(y) == RED) {
setColor(parentOf(x), BLACK); // 情况1
setColor(y, BLACK); // 情况1
setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); // 情况1
x = parentOf(parentOf(x)); // 情况1
} else {
if (x == rightOf(parentOf(x))) {
x = parentOf(x); // 情况2
rotateLeft(x); // 情况2
}
setColor(parentOf(x), BLACK); // 情况3
setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); // 情况3
rotateRight(parentOf(parentOf(x))); // 情况3
}
} else {
Entry<K,V> y = leftOf(parentOf(parentOf(x)));
if (colorOf(y) == RED) {
setColor(parentOf(x), BLACK); // 情况4
setColor(y, BLACK); // 情况4
setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); // 情况4
x = parentOf(parentOf(x)); // 情况4
} else {
if (x == leftOf(parentOf(x))) {
x = parentOf(x); // 情况5
rotateRight(x); // 情况5
}
setColor(parentOf(x), BLACK); // 情况6
setColor(parentOf(parentOf(x)), RED); // 情况6
rotateLeft(parentOf(parentOf(x))); // 情况6
}
}
}
root.color = BLACK;
}
remove
remove(Object key)的作用是删除key值对应的entry，该方法首先通过上文中提到的getEntry(Object key)方法找到key值对应的entry，然后调用deleteEntry(Entry<K,V> entry)删除对应的entry。由于删除操作会改变红黑树的结构，有可能破坏红黑树的约束条件，因此有可能要进行调整。
getEntry()函数前面已经讲解过，这里重点放deleteEntry()上，该函数删除指定的entry并在红黑树的约束被破坏时进行调用fixAfterDeletion(Entry<K,V> x)进行调整。
由于红黑树是一棵增强版的二叉查找树，红黑树的删除操作跟普通二叉查找树的删除操作也就非常相似，唯一的区别是红黑树在节点删除之后可能需要进行调整。现在考虑一棵普通二叉查找树的删除过程，可以简单分为两种情况:
删除节点 P 的左右子树都为空，或者只有一个子树为空。
删除节点 P 的左右子树都非空。
对于上述情况1，处理起来比较简单，直接将p删除(左右子树都为空时)，或者用非空子树替代p(只有一棵子树非空时)；对于情况2，可以用p的后继s(树中大于x的最小的那个元素)代替p，然后使用情况1删除s(此时s一定满足情况1.可以画画看)。
基于以上逻辑，红黑树的节点删除函数deleteEntry()代码如下:
// 红黑树entry删除函数deleteEntry()
private void deleteEntry(Entry<K,V> p) {
modCount++;
size--;
if (p.left != null && p.right != null) {// 2. 删除点p的左右子树都非空。
Entry<K,V> s = successor(p);// 后继
p.key = s.key;
p.value = s.value;
p = s;
}
Entry<K,V> replacement = (p.left != null ? p.left : p.right);
if (replacement != null) {// 1. 删除点p只有一棵子树非空。
replacement.parent = p.parent;
if (p.parent == null)
root = replacement;
else if (p == p.parent.left)
p.parent.left = replacement;
else
p.parent.right = replacement;
p.left = p.right = p.parent = null;
if (p.color == BLACK)
fixAfterDeletion(replacement);// 调整
} else if (p.parent == null) {
root = null;
} else { // 1. 删除点p的左右子树都为空
if (p.color == BLACK)
fixAfterDeletion(p);// 调整
if (p.parent != null) {
if (p == p.parent.left)
p.parent.left = null;
else if (p == p.parent.right)
p.parent.right = null;
p.parent = null;
}
}
}
上述代码中占据大量代码行的，是用来修改父子节点间引用关系的代码，其逻辑并不难理解。下面着重讲解删除后调整函数fixAfterDeletion()。首先请思考一下，删除了哪些点才会导致调整？只有删除点是BLACK的时候，才会触发调整函数，因为删除RED节点不会破坏红黑树的任何约束，而删除BLACK节点会破坏规则4。
跟上文中讲过的fixAfterInsertion()函数一样，这里也要分成若干种情况。记住，无论有多少情况，具体的调整操作只有两种: 1.改变某些节点的颜色，2.对某些节点进行旋转。
上图的整体思路为：将情况 1 首先转换为情况 2，或者转换成 3 或 4。当然，该图解并不意味着调整情况一定是从情况 1 开始的。通过后续的代码我们会发现一些规则：
- 如果是由情况 1 之后紧接着进入情况 2，那么情况 2 之后一定会退出循环(因为 X 为红色)。
- 一旦进入情况 3 和 4，一定会退出循环(因为 X 为 root)。
删除后跳转函数 fixAfterDeletion 的具体实现如下，其中用到了上文中提到的rotateLeft()和rotateRight()函数。通过代码我们能够看到，情况3其实是落在情况4内的。情况5～情况8跟前四种情况是对称的，因此图解中并没有画出后四种情况，读者可以参考代码自行理解。
private void fixAfterDeletion(Entry<K,V> x) {
while (x != root && colorOf(x) == BLACK) {
if (x == leftOf(parentOf(x))) {
Entry<K,V> sib = rightOf(parentOf(x));
if (colorOf(sib) == RED) {
setColor(sib, BLACK); // 情况1
setColor(parentOf(x), RED); // 情况1
rotateLeft(parentOf(x)); // 情况1
sib = rightOf(parentOf(x)); // 情况1
}
if (colorOf(leftOf(sib)) == BLACK &&
colorOf(rightOf(sib)) == BLACK) {
setColor(sib, RED); // 情况2
x = parentOf(x); // 情况2
} else {
if (colorOf(rightOf(sib)) == BLACK) {
setColor(leftOf(sib), BLACK); // 情况3
setColor(sib, RED); // 情况3
rotateRight(sib); // 情况3
sib = rightOf(parentOf(x)); // 情况3
}
setColor(sib, colorOf(parentOf(x))); // 情况4
setColor(parentOf(x), BLACK); // 情况4
setColor(rightOf(sib), BLACK); // 情况4
rotateLeft(parentOf(x)); // 情况4
x = root; // 情况4
}
} else { // 跟前四种情况对称
Entry<K,V> sib = leftOf(parentOf(x));
if (colorOf(sib) == RED) {
setColor(sib, BLACK); // 情况5
setColor(parentOf(x), RED); // 情况5
rotateRight(parentOf(x)); // 情况5
sib = leftOf(parentOf(x)); // 情况5
}
if (colorOf(rightOf(sib)) == BLACK &&
colorOf(leftOf(sib)) == BLACK) {
setColor(sib, RED); // 情况6
x = parentOf(x); // 情况6
} else {
if (colorOf(leftOf(sib)) == BLACK) {
setColor(rightOf(sib), BLACK); // 情况7
setColor(sib, RED); // 情况7
rotateLeft(sib); // 情况7
sib = leftOf(parentOf(x)); // 情况7
}
setColor(sib, colorOf(parentOf(x))); // 情况8
setColor(parentOf(x), BLACK); // 情况8
setColor(leftOf(sib), BLACK); // 情况8
rotateRight(parentOf(x)); // 情况8
x = root; // 情况8
}
}
}
setColor(x, BLACK);
}
TreeSet
前面已经说过TreeSet是对TreeMap的简单包装，对TreeSet的函数调用都会转换成合适的TreeMap方法。
// TreeSet是对TreeMap的简单包装
public class TreeSet<E> extends AbstractSet<E>
implements NavigableSet<E>, Cloneable, java.io.Serializable
{
......
private transient NavigableMap<E,Object> m;
// Dummy value to associate with an Object in the backing Map
private static final Object PRESENT = new Object();
public TreeSet() {
this.m = new TreeMap<E,Object>();// TreeSet里面有一个TreeMap
}
......
public boolean add(E e) {
return m.put(e, PRESENT)==null;
}
......
}
Feedback
Was this page helpful?
Glad to hear it! Please tell us how we can improve.
Sorry to hear that. Please tell us how we can improve.